导读 大家好，我是小科，我来为大家解答以上问题。高斯定理证明阿基米德原理，高斯定理证明很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！我尝试着用...
大家好，我是小科，我来为大家解答以上问题。高斯定理证明阿基米德原理，高斯定理证明很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
我尝试着用学过的知识证明了一下。用到两个引理：
1.费马的两平方和定理:任何形如4n + 1的质数都可以唯一表成两个平方数之和。(这个定理我还不会证.)
2.-1不是4k+3状质数的二次剩余.(这个用欧拉判别式可以证明.)
充分性：n的一切形如4k+3形状的质因子的幂次均为偶数时,可以将n化为a*b2的其中a中不含4k+3形状的质因子,于是由引理1,a可以表示为若干平方和之积,我们只要证明:若干平方和之积还是平方和.也就是证明(x2+y2)(z2+w2)也是平方和.显然初中我们就知道(x2+y2)(z2+w2)=(xz+yw)2+(xw-yz)2.于是a可以表示为平方和.自然a*b2也可以.
必要性:正整数n可被表示为两整数平方和.设p是n的形如4k+3形状的质因子.由n=c2+d2知道p|c2+d2,又-1不是4k+3状质数p的二次剩余,所以必有p|c,p|d.于是p2|n.把p2约去后再重复讨论即可以知道p在n中的幂数是偶数.
本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。